Ungleichungen fur Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An- wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor- derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenraume unterscheiden, findet man Existenz- und Eindeutigkeitssatze, Fehlerabschatzungen bei der numerischen Approximation von Loesungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse uber die Struktur des Spek- trums. Fur allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschatzungen im L fur Funktionen mit kompaktem 2 Trager im betrachteten Gebiet (HOEBMANDEB [22]) in erschoepfender Weise studiert worden. Was aber Abschatzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch uberaus wenig bekannt. Solche Abschatzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON1, SCHECHTEB [43], [44], 45 und einige andere Untersuchungen, uber die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschatzungen fur Differentialopera- toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschrankungen bezuglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.