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Diese Arbeit liefert ein Beispiel fur die Anwendung der Funktionalanalysis auf die Theorie der Quadratur. Im ersten Abschnitt geben wir eine Erweiterung des Darstellungssatzes von V. M. TscHAKALoFF [19] fur positive, lineare Funktionale auf endlich dimensionalen, linearen und normierten Raumen. Unter schwacheren Voraussetzungen als in V. M. TscHA- KALOFFS Darstellung wird die Existenz von interpolatorischen Quadraturverfahren mit positiven Gewichten bewiesen. Ferner zeigen wir die Existenz von konvergenten Quadraturverfahren, die fur Funktionen aus einem in C [a, b] abgeschlossenen System von 1. u. Funktionen exakt sind. Im dritten Abschnitt untersuchen wir interpolatorische Funktionale fn* naher und stellen mittels der Interpolationstheorie in linearen, normierten Raumen [3] einen Charakteri- sierungssatz auf, der fur die Konstruktion von interpolatorischen Quadraturverfahren auf C und Cm von Bedeutung ist. Ein entsprechender Satz fur interpolatorische fn* vom GAussschen Typ (s. Definition 2), der das Ergebnis fur die GAUSS-JACoBI-Quadratur- verfahren enthalt, wird ebenfalls in diesem Abschnitt bewiesen. Die Linearitat der Quadraturverfahren auf C ist dafur verantwortlich, dass es zu jedem konvergenten Quadraturverfahren auf C eine stetige Funktion gibt, fur die das Ver- fahren sehr langsam konvergiert (s. Abschnitt 4). Aus demselben Grunde ist es un- moeglich, eine Einschliessungseigenschaft, wie sie etwa bei RlliMANN-Integralen durch die Ober- und Untersummen gegeben ist, bei konvergenten Quadraturverfahren auf C zu erhalten. Die Konvergenzsatze fur Quadraturverfahren auf C und Cm leiten wir einheitlich aus dem Darstellungssatz von F. RIESZ (C*) und aus dem entsprechenden Satz fur Cm* (A. SARD) in Verbindung mit dem Satz von BANACH-STEINHAUS her.
