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Bereits seit langerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknupft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche Problem. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Anstoss zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit uber additive Eigenschaften von Zahlen [lJ einen neuen Zugang zu den ge nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte namlich zunachst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen naturlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die Dichte zuge ordnet, die in gewissem Sinn ein Mass dafur ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller naturlichen Zahlen der gegebenen Menge angehoert. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt also ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingefuhrt wurde, zeigte sich, dass bereits in grosser Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschluss an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien fur den vorliegen den Bericht ziemlich zwangslaufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte Summe , Dichte , bzw. spezielle Mengen gegeben zu sein.
