Uniformisierung

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1. Die Theorie der Uniformisierung befasst sich mit der Frage, wie eine mehrdeutige Relation (x, y) zwischen den Objekten x und y von zwei Mengen R bzw. R eindeutig dargestellt (uniformisiert) werden y kann. Unter dem Uniformisierungsproblem im eigentlichen Sinn, so wie es auch in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung kommen wird, versteht man die enger und prazise abgegrenzte, freilich immer noch sehr all- gemeine Aufgabe, eine mehrdeutige analytische Relation (x, y) zwischen den Punkten x und y von zwei komplexen Zahlenebenen oder allge- meiner von zwei RIEMANNschen Flachen R und R zu uniformisieren, y indem fur die gegebene Relation (x, y) eine Parameterdarstellung x=x(t), y=y(t) (1 ) gesucht wird, durch welche die Gesamtheit der durch die Relation (x, y) gebundenen Punktepaare x, y den Punkten t einer dritten RIEMANNschen Flache R eindeutig und analytisch zugeordnet werden. Besonderes t Interesse bietet hierbei der Fall, wo R schlichtartig ist, d. h. wo diese t Flache als Teilgebiet der Ebene der komplexen Zahlen t dargestellt werden kann. Sind dazu auch die Flachen R und R die komplexe x- y und y-Ebene, so ist die Relation (x, y) ein sog. analytisches Gebilde und es gilt also, dieses Gebilde durch zwei eindeutige analytische Funk- tionen x = x (t), y = y (t) nicht nur im kleinen (lokal), sondern im grossen (global) zu uniformisieren. 2.