Die Leitgedanken meiner Untersuchungen uber die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknupfend an fruhere Ansatze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefasste und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung fur die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere ublichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel moechte ich hervorheben, dass die zeit- weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GOEDEL folge die Undurchfuhrbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtum- lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, dass man fur die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand- punkt in einer scharferen Weise ausnutzen muss, als dieses bei der Be- trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Goettingen, im Marz 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro- bleme erwachsen ist, wurde schon seit langerem von HILBERT ange- kundigt.