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L'objectif de ce livre est de presenter une methode meconnue voire nouvelle basee sur le concept du rearrangement relatif qui est le sujet principal de ce livre. Pour ce faire, on a developpe des proprietes du rearrangement monotone dont certaines ne se trouvent dans aucun autre ouvrage que dans ce livre (sauf dans des revues) comme les inegalites de Polya-Szego ou les C_alpha-rearrangements. On y etudie la regularite de la derivee du rearrangement monotone ainsi que la continuite de cette application derivee.
On y expose les inegalites ponctuelles de Poincare-Sobolev qui permettent de retrouver les inegalites classiques de Sobolev, mais aussi toutes sortes d'inegalites du meme type liees a n'importe quel espace norme comme les espaces de Lorentz. Ces techniques basees les inegalites ponctuelles entre le rearrangement relatif et monotone sont etendues a des equations aux derivees partielles relevant de la physique, de la chimie, pour obtenir des resultats de regularite dans des espaces normes autres que ceux de Lebesgue, des comportements asymptotiques ou des comparaisons de solutions.
We present here a new method for mathematical analysis, especially for obtaining Sobolev inequalities in any normed spaces or Polya-Szego inequalities or a priori estimates for P.D.E. in non standard spaces as Lorentz spaces or generalized gamma spaces. This method is based on pointwise inequalities linking the derivative of the monotone rearrangement and the relative rearrangement of the gradient of a function. We present some applications in physics, chemistry, or in optimization problems.
