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1.1 Integralgleichungen Eine spezielle Integralgleichung ist aus der Analyse gewoehnlicher Differentialgleichungen wohlbekannt. Das Anfangswertproblem (1.1.1} y’(x)=f(x, y) furx;, x, 0 wird durch Integration von x bis x in die Form 0 X (1.1.2} y(x)=yo + 1 f( .y( JJd; 0 gebracht, da die Integraldarstellung (2} fur den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Loesung der Differentialgleichung (1} besser geeignet ist. Allgemein ist eine Integralgleichung eine Gleichung fur eine unbekannte Funktion {, wobei f u.a. im Integranden eines Integrals auftritt. Die Integralgleichungen werden weiterhin nach Merkmalen unterschieden, die im folgenden verbal charakterisiert werden. Fredholmsche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich uber ein 1 festes Intervall des R oder einen allgemeineren festen Integrationsbereich (Teilmenge des Rd, Kurve, Oberflache etc.l. Voltarrasche Integralgleichung: Das Integral erstreckt sich uber einen mit der Variablen x sich verandernden Bereich (vgl. (2}). Unabhangig von dieser Kennzeichnung ist die folgende Einteilung: Integralgleichung 1. Art: Die unbekannte Funktion kommt nur im Integranden vor. Integralgleichung 2. Art: Die unbekannte Funktion erscheint auch ausserhalb des Integranden. Wie bei Differentialgleichungen unterscheidet man lineare Integralgleichungen: Die Gleichung ist linear in der unbe- kannten Funktion. Im sonstigen Fall spricht man von einer nichtlinearen Integralgleichung. Eine weitere Unterteilung ist von den vorhergehenden Charak- terisierungen unabhangig und betrifft die Integralbildung: regulare Integralgleichung: Das Integral existiert als eigentliches Integral. schwach singuiare Integralgleichung: Das Integral existiert als uneigentliches Integral.
