Die mathematischen Grundlagen der finiten Element-Methoden gehoren heute zum selbstverstandlichen Rustzeug des Angewandten Mathematikers. Da dieses Thema die mathematischen Theorien der Variationsrechnung und partiellen Differentialgleichungen, Probleme der Mathematischen Physik und Losungsalgorithmen der Numerischen Mathematik miteinander verbindet, eignet es sich besonders gut fur ein Mittelseminar fur kunftige Mathematiker, Mathematiklehrer und Ingenieure. Dieser Text gibt im wesentlichen die Ausarbeitung der Seminarteilnehmer wieder und sollte sich auch fur eine einfuhrende Vorlesung und zum Selbststudium eignen.